ระบบพิกัดเชิงขั้ว (Polar Coordinates)

ระบบพิกัดเชิงขั้ว (Polar Coordinates) v.2026.10.21.12:27

สื่อการเรียนรู้เชิงปฏิสัมพันธ์สำหรับการแปลงพิกัดและทำความเข้าใจความสัมพันธ์ระหว่าง ระบบพิกัดฉาก $(x, y)$ และ ระบบพิกัดเชิงขั้ว $(r, \theta)$ โดยแสดงมุมในหน่วย เรเดียน (Radians) สามารถสลับมุมมองระบบพิกัด ป้อนค่านิพจน์ทางคณิตศาสตร์ ลากจุดบนกราฟ และศึกษาขั้นตอนการคำนวณ

สามเหลี่ยมมุมฉาก ($x, y, r$) ส่วนโค้งมุม ($\theta$) แนวชี้ทิศเมื่อ $r < 0$ ป้ายพิกัดกำกับจุด

📌 จุดที่บันทึกไว้บนกราฟ

ยังไม่มีจุดที่บันทึก (กดปุ่ม "บันทึกจุดนี้" เพื่อปักหมุดเปรียบเทียบหลายจุด)

1. ระบบพิกัดฉาก $(x, y)$

💡 รองรับนิพจน์คณิตศาสตร์ เช่น sqrt(2), 2*sqrt(3), -sqrt(2)/2, 3/2

x: ≈ 3.00

y: ≈ 3.00

🎯 แปลงเป็นพิกัดเชิงขั้ว $(r, \theta)$ ได้:

$$r = 3\sqrt{2}, \quad \theta = \frac{\pi}{4}$$

2. ระบบพิกัดเชิงขั้ว $(r, \theta)$

💡 มุม $\theta$ ใช้หน่วยเรเดียน พิมพ์ pi/4, 2pi/3 ได้ และถ้ากรอกมุมเกิน 1 รอบ (เช่น 9pi/4) หรือมุมติดลบ กราฟจะแสดงเป็นเส้นก้นหอย (Spiral 🌀) เพื่อบอกจำนวนรอบที่หมุน!

r: = 3*sqrt(2)

θ: = pi/4

🎯 แปลงเป็นพิกัดฉาก $(x, y)$ ได้:

$$x = 3, \quad y = 3$$

มุมเรเดียนมาตรฐาน:

มุมเกิน 1 รอบ (ก้นหอย 🌀) / มุมติดลบ:

🧮 ขั้นตอนการคำนวณแปลงพิกัด

กำลังโหลดสูตรคำนวณ...

🔄 พิกัดเชิงขั้วคู่อื่นที่แทนจุดเดียวกัน

เนื่องจาก $\theta$ วนรอบได้ $2\pi$ และการกลับทิศรัศมี $(-r)$ หมุนมุมไป $\pi$ จุดเดียวกันจึงเขียนได้หลายแบบ:

📖 สรุปสูตรและหลักการสำคัญของระบบพิกัดเชิงขั้ว

ในระบบพิกัดเชิงขั้ว ระนาบจะถูกกำหนดด้วย จุดขั้ว (Pole) เทียบเท่ากับจุดกำเนิด $(0, 0)$ และ แกนเชิงขั้ว (Polar Axis) ซึ่งเทียบเท่ากับแกน $X$ ฝั่งบวก พิกัดระบุด้วย $(r, \theta)$ ในหน่วยเรเดียน โดยที่:

$r$ คือระยะทางเชิงทิศทางจากจุดกำเนิดไปยังจุดนั้น (รัศมีสามารถติดลบได้)
$\theta$ คือมุมที่ทำกับแกนเชิงขั้ว (วัดทวนเข็มนาฬิกาเป็นบวก, ตามเข็มนาฬิกาเป็นลบ) ในหน่วยเรเดียน

1. สูตรการแปลงพิกัด (Coordinate Conversion)

การแปลง	สูตรคำนวณ	ข้อสังเกตและข้อควรระวัง
จาก $(r, \theta) \to (x, y)$	$$x = r\cos\theta$$ $$y = r\sin\theta$$	คำนวณได้โดยตรงเสมอ ไม่ว่า $r$ หรือ $\theta$ จะเป็นค่าใด
จาก $(x, y) \to (r, \theta)$	$$r = \pm\sqrt{x^2 + y^2}$$ $$\tan\theta = \frac{y}{x} \quad (x \neq 0)$$	ต้องพิจารณา Quadrant ของจุด $(x, y)$ ร่วมด้วย เพื่อเลือกมุม $\theta$ ในหน่วยเรเดียนให้ถูกต้อง

2. การเลือกมุม $\theta$ ตามควอดรันต์ (Quadrant Rules ในหน่วยเรเดียน)

ฟังก์ชัน $\arctan(y/x)$ จะให้ค่ามุมในช่วง $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ เท่านั้น ดังนั้น:

Quadrant I ($x > 0, y > 0$): $\theta = \arctan\left(\frac{y}{x}\right)$
Quadrant II ($x < 0, y > 0$): $\theta = \arctan\left(\frac{y}{x}\right) + \pi$
Quadrant III ($x < 0, y < 0$): $\theta = \arctan\left(\frac{y}{x}\right) + \pi$
Quadrant IV ($x > 0, y < 0$): $\theta = \arctan\left(\frac{y}{x}\right) + 2\pi$
กรณีบนแกน: ถ้า $x=0, y>0 \implies \theta = \frac{\pi}{2}$, ถ้า $x=0, y<0 \implies \theta = \frac{3\pi}{2}$

3. ความไม่เป็นหนึ่งเดียวของพิกัดเชิงขั้ว (Non-Uniqueness)

ต่างจากพิกัดฉากที่มีคู่ลำดับเดียว จุดหนึ่งจุดในพิกัดเชิงขั้วสามารถแทนด้วยพิกัดได้นับไม่ถ้วน (เมื่อ $k$ เป็นจำนวนเต็มใด ๆ):

$$(r, \theta) = (r, \theta + 2k\pi) = (-r, \theta + (2k+1)\pi), \quad k \in \mathbb{Z}$$

(เมื่อ $k \in \mathbb{Z}$ คือจำนวนเต็มใด ๆ เช่น $0, \pm 1, \pm 2, \dots$)

ความหมายของ $r < 0$: หากกำหนด $r = -3, \theta = \frac{\pi}{4}$ หมายถึงให้หันหน้าไปในทิศมุม $\frac{\pi}{4}$ แล้ว ก้าวถอยหลัง ไป 3 หน่วย ซึ่งจะไปตกอยู่ที่ทิศทางของมุม $\frac{\pi}{4} + \pi = \frac{5\pi}{4}$ นั่นเอง